Kapitel 12: Algebra – Rechnen mit Buchstaben | Physikalische Soiree

Wir können alles Mögliche zusammenzählen. Warum nicht auch Buchstaben. Vom Rechnen mit Buchstaben erzählt dieses Kapitel.

Wörter 1

zählen, zusammenzählen, drücken, ausdrücken, der Ausdruck, der Buchstabe, die Variable, der Term, sortieren, alphabetisch, das Alphabet, fassen, zusammenfassen, getrennt, gemeinsam, vermischen, gerne, zuerst, die Strecke, fliegen

1. Addieren

♥ + ♥ + ♥ + ♥ = $4\cdot$ ♥ = $4$ ♥

♣ + ♣ + ♣ = $3\cdot$ ♣ = $3$ ♣

♥ + ♥ + ♣ + ♥ + ♥ + ♣ + ♣ = $4\cdot$ ♥ + $3\cdot$ ♣ = $4$ ♥ + $3$ ♣

$x+x+x+x=4\cdot x=4x$

$y+y+y=3\cdot y=3y$

$x+x+y+x+x+y+y=4\cdot x+3\cdot y=4x+3y$

Wir nennen so einen mathematischen Ausdruck mit Buchstaben „Term“. Wir nennen die Buchstaben „Variablen“.

Übungen

$2a+5a=$

Lösung

$7a$

$7a+3a+6b=$

Lösung

$10a+6b$

$6r+7s+3t+5+2+9r+s+2t+4=$

Lösung

$11+15r+8s+5t$

Wir sortieren die Variablen gerne alphabetisch. Die Zahl schreiben wir gerne zuerst.

$-4x+5x=$

Lösung

$+1x=x$

Wir lassen + (Vorzeichen) und 1 (im Produkt) gerne weg.

$-7h+2j-i+10i+3j+2h+6=$

Lösung

$6-5h+9i+5j$

2. Subtrahieren

$7x-2x=5x$

$7x+3y-2x=5x+3y$

$7x-9x=-2x$

Wenn wir Variablen addieren oder subtrahieren, sagen wir: „Wir fassen sie zusammen“. Wir fassen gleiche Variablen und Zahlen getrennt voneinander zusammen. Wir dürfen sie nicht durch gemeinsames Zusammenfassen vermischen.

$2x+y+6z+3x-8-5y-z+10=5x-4y+5z+2$

Übungen

$2a+5a=$

Lösung

$7a$

$7a+3a+6b=$

Lösung

$10a+6b$

$6r+7s+3t+5+2+9r+s+2t+4=$

Lösung

$11+15r+8s+5t$

Wir sortieren die Variablen gerne alphabetisch. Die Zahl schreiben wir gerne zuerst.

$-4x+5x=$

Lösung

$+1x=x$

Wir lassen + (Vorzeichen) und 1 (im Produkt) gerne weg.

$-7h+2j-i+10i+3j+2h+6=$

Lösung

$6-5h+9i+5j$

Eine Flugstrecke ist x km lang. y km sind Sie schon geflogen. Wie viele km werden Sie noch fliegen?

Lösung

$x-y$

3. Multiplizieren und herausheben

$c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$
Was hat diese Rechnung mit dem Bild zu tun?

café + café + perrier + perrier = 2 café + 2 perrier = 2 (café + perrier)

Hinweis zur Sprache

Café bedeutet im das „Kaffeehaus“. Das Getränk schreibt man Kaffee. Im Französischen schreibt man das Getränk Café.

Herausheben

Ein gemeinsamer Faktor wird nur einmal geschrieben. Es entsteht ein Produkt.
2 café + 2 perrier = 2 (café + perrier)

$2c+2p=2(c+p)$

Multiplizieren

Die Multiplikation wird ausgeführt. Jedes Element wird multipliziert.
2 (café + perrier) = 2 café + 2 perrier

$2(c+p)=2c+2p$

Wozu?

$c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$

Wir sagen zu c und p „Variablen“. Wenn c der Preis für den Kaffee ist und p der Preis für Perrier, dann wird die obige Rechnung den Geldbetrag ausmachen, der zu bezahlen ist. Die Preise sind je nach Kaffeehaus variabel (unterschiedlich). Die Rechnung gilt für alle Kaffeehäuser. Das ist praktisch.

Wörter 2

das Bild, tun, zu tun haben, der Preis, Perrier (Mineralwasser), obig, der Betrag, das Geld, der Geldbetrag, bezahlen, der Kaffee, das Kaffeehaus, variabel, unterschiedlich, gelten, praktisch, der Wert, setzen, einsetzen, die Möglichkeit, die Person, heben, heraus, herausheben, umkehren, die Umkehrung, die Abrechnung, teilen, aufteilen, der Bruchstrich, der Alltag, die Kunst, die Algebra, beschreiben, kürzen, schaffen, der Schluss, einfach, vereinfachen, verboten, die Brille, tragen, wissen

$c=1,6 \text{ Euro und } p=3,2 \text{ Euro}$

$\text {Geldbetrag}=c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$

Wenn wir den Variablen c und p den Wert 1,6 und 3,2 geben, „setzen wir in c und p ein“. Wir schreiben statt c und p die Werte. 3 Möglichkeiten haben wir in der obigen Rechnung.

$\text {1. Term: }1,6 +1,6 +3,2 +3,2 =9,6 \text{ Euro (lange Rechnung)}$
$\text {2. Term: }2 \cdot (1,6)+2 \cdot (3,2) = 9,6 \text{ Euro}$
$\text {3. Term: }2 \cdot (1,6+3,2) = 2 \cdot(4,8) \text{ Euro}$

Beim 3. Term sehen wir, dass jede der zwei Personen 4,8 Euro bezahlen muss. Wir haben den dritten Term durch Herausheben erhalten. Herausheben ist die Umkehrung der Multiplikation.

Übungen

Multiplizieren

$5\cdot8a=$

Lösung

$40a$

$3\cdot(6f+2g)=$

Lösung

$18f+6g$

$-3\cdot(-8x+5)=$

Lösung

$24x-15$

$-(4x-2y+3z)=$

Lösung

$-4x+2y-3z$

$(7x+8y-z)\cdot(-2)=$

Lösung

$-14x-16y+2z$

Herausheben

$4x+4y=$

Lösung

$4\cdot (x+y)$

$18f+6g=$

Lösung

$6\cdot(3f+g) \text{ oder } 3\cdot(6f+2g)$

$-24x-15=$

Lösung

$-3\cdot(8x+5)$

$-4x+2y-3z \text { bitte -1 herausheben}$

Lösung

$-1 \cdot(4x-2y+3z)=-(4x-2y+3z)$

$-14x-16y+2z=$

Lösung

$(-2)\cdot(7x+8y-z)=-2\cdot(7x+8y-z)$

4. Dividieren

Dividieren wird beim Rechnen mit Buchstaben als Term mit Bruchstrich geschrieben.

$\dfrac{x}{5}$

x könnte die Rechnung im Restaurant sein. Sie wird auf fünf Personen aufgeteilt. Der Term beschreibt, wie viel jede der fünf Personen bezahlt.

Beispiel 1

$x=70 \text { Euro}$
$\text {... das ergibt pro Person } \dfrac {70}{5}=14 \text { Euro.}$

Wir rechnen mit Buchstaben auch ohne Beziehung zum Alltag. Diese Kunst des Rechnens wird „Algebra“ genannt.

Beispiel 2

$\dfrac {3x+4x}{9+5}=\dfrac {7x}{14}=\dfrac {x}{2}$
Zuerst oben und unten vereinfachen. Das bedeutet: addieren, subtrahieren (zusammenfassen), ausmultiplizieren, kürzen. Wir kürzen am Schluss durch 7.

Beispiel 3

$\dfrac {3x+4x+1}{9+5}=\dfrac {7x+1}{14}$
Das Ergebnis kann nicht weiter vereinfacht werden. Kürzen ist bei + und – verboten.

Erweiterung: Beispiel 4

$\dfrac {3x+4x+21}{9+5}=\dfrac {7x+21}{14}=\dfrac {7 \cdot (x+3)}{14}=\dfrac{x+3}{2}$
Durch Herausheben haben wir ein „Mal“ geschaffen. Dann ist Kürzen erlaubt.

Übungen

Wenn x die Anzahl an Menschen ist und jeder 4. Mensch eine Brille trägt: Welcher Term beschreibt die Anzahl der Menschen, die eine Brille tragen?

Lösung

$\dfrac {x}{4}$

Wenn wir nun wissen, dass x=200 ist, wie viele Menschen tragen dann eine Brille?

Lösung

$\dfrac {200}{4}=50$

Antwort: 50 Menschen tragen eine Brille.

Weitere Übungen:

$\dfrac{3x+5x}{2+14}=$

Lösung

$\dfrac {8x}{16}=\dfrac{x}{2}$

$\dfrac{3x+4y-5+2x}{x+x+y+1}=$

Lösung

$\dfrac {-5+5x+4y}{1+2x+y}$

$\text {Erweiterung: Heben Sie bitte oben und unten zuerst 2 heraus}\dfrac{4a+6b}{10a+8b}$

Lösung

$\dfrac{2a+3b}{5a+4b}$

5. Vorrangregeln

Es gelten die üblichen Vorrangregeln, die durch Klammern geändert werden können. Innerhalb der Klammern möchten wir zuerst vereinfachen.

$5x+3 \cdot (2x + 4 + 6x)=5x+3 \cdot (8x+4)=5x+24x+12=29x+12$

Übung

$2x+5 \cdot (3x + 1 + 4x)=$

Lösung

$2x+5\cdot (7x+1)=2x+35x+5=37x+5$

6. Bis zum nächsten Mal

Wörter 3

die Gelegenheit, finden, überall, das Ding, zählen, die Zahl, multiplizieren, die Frage, stellen, die Antwort, wissen, neugierig, bleiben

Gelegenheiten zum Rechnen finden wir überall. Ob wir nur die Dinge zählen. Ob wir die Zahlen multiplizieren. Ob wir Fragen stellen, deren Antwort wir noch nicht wissen. Bleiben wir neugierig!

Korrekturen: Maria Fatoba

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